PROPIEDADES DE LOS ENTEROS

Propiedades de orden de los enteros

El orden en los enteros satisface las siguientes propiedades:

  • Tricotomía
    Dados $a$ y $b$ números enteros, se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones
    • MATH
    Decir que $a$ es positivo equivale a decir que $a>0$; y que $b$ es negativo equivale a decir que $b<0$.
  • Transitividad
    Si $a<b$ y $b<c$, entonces $a<c$.
    Es decir, si $a$ está a la izquierda de $b$ y $b$ está a la izquierda de $c$, entonces $a$ está a la izquierda de $c$.
  • Relación con la suma
    Si $a<b$ y $c$ es cualquier entero, entonces $a+c<b+c$.
  • Multiplicación por un número positivo
    Si $a<b$ y $c$ es cualquier entero positivo, entonces $ac<bc$. (No se altera el sentido de la desigualdad).
  • Multiplicación por un número negativo. Si $a<b$ y $c<0$ entonces $ac>bc$. (Se invierte el sentido de la desigualdad).
Ejemplos
  1. Verificar la transitividad cuando $a=4$, $b=7$ y $c=15$. Solución:
    Debemos verificar que: si $a<b$ y $b<c$, entonces $a<c$. En efecto
    2. MATH
  2. Multiplicar $-3<5$ por $4$. Solución:
    Al multiplicar una desigualdad por un número positivo, el sentido de la desigualdad no se altera, así que
    3. MATH
  3. Multiplicar $-2<3$ por $-6$. Solución:
    Puesto que vamos a multiplicar por un número negativo, debemos recordar que al hacerlo se debe intercambiar el signo $<$ por $>$. Entonces
    4. MATH
  4. Mostrar que la desigualdad $-17<-11$ se puede obtener a partir de la desigualdad $11<17$. Solución:
    Puesto que $11<17$, multiplicando por $\left( -1\right) $ a ambos lados de la desigualdad tenemos:
    5. MATH
    o lo que es lo mismo, $-17<-11$.
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